VI · Annexes — formulaireAnnexe
Annexe E — Régimes transitoires (coup de bélier)
Célérité d'onde, Joukowsky, période, équations des caractéristiques (MOC) et efforts.
Célérité de l'onde de pression (Korteweg)
a = √( K/ρ ) / √( 1 + (K/E) · (D/e) · c_1 )
K = module de l'eau, E = module du matériau, e = épaisseur de paroi, c_1 = coefficient d'ancrage.
Surpression de Joukowsky (manœuvre brusque)
ΔH = ± (a/g) · Δv · ΔP = ± ρ · a · Δv
C'est la borne maximale atteinte pour une fermeture plus rapide que l'aller-retour de l'onde.
Période et temps critique de fermeture
T = 2L/a · t_c = 2L/a
Une fermeture en t_{fermeture} > t_c (manœuvre lente) réduit fortement la surpression.
Méthode des caractéristiques (MOC)
Le long des droites caractéristiques dx/dt = ± a, les équations discrètes en un point P :
C⁺ : H_P = C_P − B · Q_P
C⁻ : H_P = C_M + B · Q_P
avec l'impédance et le terme de frottement :
B = a/(g A) · R = f Δx / (2 g D A²)
C_P = H_A + B Q_A − R Q_A |Q_A| · C_M = H_B − B Q_B + R Q_B |Q_B|
La résolution donne Q_P = (C_P − C_M)/(2B) puis H_P.
Condition de Courant (CFL)
Δx = a · Δt · C_n = a Δt / Δx ≤ 1
Frottement instationnaire (Brunone)
Terme additionnel proportionnel à l'accélération locale et convective :
h_{f,inst} = (k_B/g) · ( ∂V/∂t + a · sign(V·∂V/∂x) · |∂V/∂x| )
Cavitation (modèle à colonne séparée, DGCM)
Une poche de vapeur apparaît si la charge atteint la pression de vapeur :
H ≤ H_{vapeur} → formation d'une cavité (volume suivi dans le temps)
Effort axial transitoire sur un tronçon
F = ρ · a · Q_0 (poussée d'impulsion) · F = ΔP · A
Protections (dimensionnement)
- Réservoir anti-bélier (ballon) — loi polytropique du gaz : P · V^k = constante.
- Cheminée d'équilibre — oscillation de masse : d²z/dt² + (g A_{tunnel})/(L A_{cheminée}) · z = 0, période T_{oscill} = 2π √( L A_{ch} / (g A_{tun}) ).