VI · Annexes — formulaireAnnexe

Annexe B — Hydraulique permanente

Continuité, énergie, pertes de charge, pompes, vannes et solveur du Gradient Global.

Conservation de la masse (aux nœuds)

En chaque nœud, la somme des débits entrants égale la demande :

Σ Q_entrant − Σ Q_sortant = q_demande

Conservation de l'énergie (le long d'un lien)

H_amont − H_aval = hf + Σ hm

Vitesse et section

A = π D² / 4 · V = Q / A = 4Q / (π D²) · Re = V D / ν

Pertes de charge linéaires

Hazen-Williams (empirique, eau potable) — forme SI (Q en m³/s, L, D en m) :

hf = 10,67 · L · Q^1,852 / ( C^1,852 · D^4,87 )

Darcy-Weisbach (physique, générale) :

hf = f · (L/D) · V²/(2g) = 8 f L Q² / ( π² g D^5 )

Le coefficient de frottement f est donné en régime turbulent par la loi implicite de Colebrook-White :

1/√f = −2 log10 ( ε/(3,7 D) + 2,51/(Re √f) )

…ou par l'approximation explicite de Swamee-Jain :

f = 0,25 / [ log10 ( ε/(3,7 D) + 5,74/Re^0,9 ) ]²

En régime laminaire (Re < 2000) : f = 64/Re.

Chézy-Manning (variante) :

hf = 10,29 · n² · L · Q² / D^5,33

Pertes de charge singulières

hm = K · V²/(2g)

K dépend de la singularité (coude, té, élargissement, vanne partiellement ouverte…).

Pompes

Courbe caractéristique hauteur-débit (ajustée sur les points saisis) :

h_P = h_0 − r · Q^m

Avec une vitesse relative s = N/N_0 (variateur), les lois d'affinité donnent :

h_P = s² · h_0 − r · (Q/s)^m

Vannes

TCV (perte réglable) : hm = K(τ) · V²/(2g), τ = degré d'ouverture.
FCV : impose un débit maximal Q ≤ Q_{consigne}.
PRV : impose la charge aval à la consigne quand la pression amont est suffisante.
PSV : impose la charge amont à la consigne.

Émetteur (débit de fuite à un nœud)

q = C_e · p^γ (γ = 0,5 par défaut)

Solveur : Algorithme du Gradient Global (Todini)

Le système non linéaire {masse aux nœuds + énergie sur les liens} est résolu par itérations de Newton. Pour chaque lien, la perte s'écrit h = r|Q|^{m-1}Q ; on note D_{ii} = ∂h/∂Q. Le système matriciel :

[ A11 A12 ; A21 0 ] · [ Q ; H ] = [ −A10 H_0 ; q ]

se résout par la mise à jour itérative des charges puis des débits :

H = −(A21 D⁻¹ A12)⁻¹ · [ A21 D⁻¹ (A11 Q + A10 H_0) − (A21 Q − q) ]

Q_{k+1} = Q_k − D⁻¹ ( A11 Q_k + A12 H + A10 H_0 )

A12 = A21^T est la matrice d'incidence lien-nœud ; A10 relie les liens aux nœuds à charge fixe. La convergence est atteinte quand la variation relative des débits passe sous la tolérance.